引用——极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用路程的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比【图片】表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，【图片】无限地接近于常数A，那么就说【图片】以A为极限。”这种描述性语言，人们容易接受，现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义。但是，这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础。正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟Δt是否等于零？如果说是零，怎么能用它去作除法呢？如果它不是零，又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的无穷小悖论。英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义。
欧拉也曾尝试使用“0”作为无穷小，但其珍贵的思想很难被后人接受。例如：把“1”个苹果分成N份，使得每份为“0”。这一概念确实是超出我们常规认知的，所不能接受的。但是这一思想却有它独特的道理：
1.一个圆规画出一个圆，圆上的每一点到圆心的距离都相等。
若圆上有无穷多个点，且每个相邻点的距离不为“0”，而是一个趋向于“0”的无穷小，那么首先可以确定这个距离是个不为“0”的正数——即圆上相邻两点有距离。设圆上相邻两点A、B，连接AB与圆心O可得到一个三角形，线段AB为三角形的底。
那么可根据前面的性质得到由无穷多个“三角形的底”连接构成一个圆。换言，线段AB中点与O点的距离等于A或B点到O点的距离。
其悖论的原因就出在“圆上相邻点的存在距离。”
2.就0.9999......=1问题，现仍存在争议。
直观的感受就是前者小于后者，但1/3*3却是0.9999...... 不能说把一块橡皮泥分成3分再还原却比原来小了吧~
受普遍接受的解法0.9999......*10-0.9999......=9.9999......-0.9999......=9 然后再除以9就等于“1”。 这就好比另一个式子：1-1+1-1+1-1....... 如果最后一个是“+1”最后答案是1，如果是“-1”则为0。而无尽的重复这样的过程且答案只有一个，最后到底是几呢？欧拉给出的结果是1/2，他是这样计算的：
1-1+1-1+1-1...... —— 1式
-1+1-1+1-1...... —— 2式 =1式*（-1）
1式-2式= 1 =1式+1式 那么得1式=1/2（既不是0，也不是1）
然后人们普遍接受了上个式子，却无法接受欧拉的解法。然而两种式子的概念是一样的。
对于“0.999......=1”人们直观的认为在0.000......的最后存在一个“1”，使得等式不成立。若这最后的一个“1”在某一个分位（十、百、千、万.....分位）上使得它的值为零，则等式将成立。即 0*x=1 这一分位则是“0”的倒数。
为什么这一分位不是无穷大呢？可以这样理解,一个木棍一天用去其1/2,永远都用不完,即使过了无穷多天，木棍依然存在。那么“0”的倒数具有什么样性质使得它能达到无穷所不能及 的事呢？
首先,“0”既不是正数也不是负数，即它也是非正非负的数,“0”的部分等于它自身(0/2=0),即它的部分也等于整体。这恰好满足于上面的两个式子。
当然,这短时间很难理解，暂且说这么多。